Conmutador

En matemáticas, el conmutador da una indicación del grado al cual cierta operación binaria no puede ser conmutativa. Hay definiciones diferentes usadas en teoría del grupo y teoría de toque.

Teoría del grupo

El conmutador de dos elementos, g y h, de un grupo G, es el elemento

: [g, h] = ghgh.

Es

igual a la identidad del grupo si y sólo si g y viaje diario al trabajo de h (es decir, si y sólo si gh = hg). Llaman el subgrupo de generado por todos los conmutadores el grupo sacado o el subgrupo del conmutador de G. Note que hay que considerar el subgrupo generado por el juego de conmutadores porque en general el juego de conmutadores no se cierra bajo la operación del grupo. Los conmutadores son usados para definir nilpotent y grupos solubles.

N.B. La susodicha definición del conmutador es usada por algunos teóricos del grupo. Muchos otros teóricos del grupo definen el conmutador como

: [g, h] = ghgh.

Identidades

Las identidades del conmutador son un instrumento importante en la teoría del grupo. La expresión a denota el conjugado de un por x, definido como xa x.

  1. y
  1. y

La identidad 5 también se conoce como la identidad del Pasillo-Witt. Es un análogo teórico por el grupo de la identidad de Jacobi para el conmutador teórico por el anillo (ver la siguiente sección).

N.B. La susodicha definición del conjugado de un por x es usada por algunos teóricos del grupo. Muchos otros teóricos del grupo definen el conjugado de un por x como xax. Esto a menudo se escribe. Las identidades similares sostienen para estas convenciones.

Una amplia gama de identidades se usa que son ciertos subgrupos modulo verdaderos. Éstos pueden ser particularmente útiles en el estudio de grupos solubles y grupos nilpotent. Por ejemplo, en cualquier grupo los segundos poderes se comportan bien

:

Si el subgrupo sacado es central, entonces

:

Teoría de toque

El conmutador de dos elementos a y b de un anillo o un álgebra asociativa es definido por

: [a, b] = ab − ba.

Es el cero si y sólo si a y b viajan a diario. En el álgebra lineal, si dos endomorphisms de un espacio se representan viajando a diario matrices con respecto a una base, entonces tan se representan con respecto a cada base.

Usando el conmutador como un soporte de la Mentira, cada álgebra asociativa se puede convertir en un álgebra de la Mentira.

En la física, esto es un principio de sobrearqueo importante en la mecánica cuántica. El conmutador de dos operadores que afectan a un Espacio de Hilbert es un concepto central en la mecánica cuántica, ya que cuantifica cómo bien dos observables descritos por estos operadores se pueden medir simultáneamente: El principio de incertidumbre es por último un teorema sobre tales conmutadores, en virtud de la relación de Robertson-Schrödinger.

En el espacio de la fase, los conmutadores equivalentes de productos de la estrella de función se llaman soportes de Moyal y son completamente isomorphic a las estructuras del conmutador del Espacio de Hilbert mencionadas.

Identidades

El conmutador tiene las propiedades siguientes:

Relaciones del estar-álgebra:

La segunda relación se llama anticommutativity, mientras el tercer es la identidad de Jacobi.

Relaciones adicionales:

Si es un elemento fijo de un anillo, la primera relación adicional también se puede interpretar como un gobierno de Leibniz para el mapa dado por. En otras palabras: el mapa define una derivación en el anillo.

La implicación de identidad siguiente anidó los conmutadores, siendo la base de la extensión de Campbell-Baker-Hausdorff, también son útiles:

Anillos clasificados y álgebras

Tratando con álgebras clasificadas, el conmutador es por lo general sustituido por el conmutador clasificado, definido en componentes homogéneos como

Derivaciones

Sobre todo si uno trata con conmutadores múltiples, otra nota resulta ser la implicación útil de la representación adjoint:

:

Entonces es una derivación y es lineal, es decir, y, y un álgebra de la Mentira homomorphism, es decir, pero es no siempre un álgebra homomorphism, es decir la identidad no sostiene en general.

Ejemplos:

Anticonmutador

El anticonmutador de dos elementos a y b de un anillo o un álgebra asociativa es definido por

: {a, b} = ab + ba.

A veces los soportes [] también se usan. El anticonmutador menos a menudo se usa que el conmutador, pero se puede usar por ejemplo para definir álgebras de Clifford y álgebras de Jordania.

Véase también

Notas

Enlaces externos



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