Serpiente lemma

La serpiente lemma es un instrumento usado en matemáticas, en particular homological álgebra, para construir secuencias exactas largas. La serpiente lemma es válida en cada categoría abelian y es un instrumento crucial en el álgebra homological y sus aplicaciones, por ejemplo en la topología algebraica. Llaman generalmente a Homomorphisms construido con su ayuda uniéndose homomorphisms.

Declaración

En una categoría abelian (como la categoría de grupos abelian o la categoría de espacios vectoriales sobre un campo dado), considere un diagrama conmutativo:

donde las filas son secuencias exactas y 0 es el objeto cero.

Entonces hay una secuencia exacta que relaciona los granos y cokernels de a, b, y c:

Además, si el morphism f es un monomorphism, entonces también es el morphism ker un → ker b, y si g' es un epimorphism, entonces también es coker b → coker c.

Explicación del nombre

Para ver donde la serpiente lemma consigue su nombre, amplíe el diagrama encima así:

y luego note que la secuencia exacta que es la conclusión del lemma se puede usar este diagrama ampliado en la forma "S" invertida de una serpiente que se desliza.

Construcción de los mapas

Los mapas entre los granos y los mapas entre el cokernels son inducidos en una manera natural por los mapas (horizontales) dados debido a commutativity del diagrama. La exactitud de las dos secuencias inducidas sigue de un modo franco de la exactitud de las filas del diagrama original. La declaración importante del lemma es que una unión homomorphism d existe que completa la secuencia exacta.

En caso de grupos abelian o módulos sobre algún anillo, el mapa d se puede construir así.

Escoja un elemento x en ker c y véalo como un elemento de C; ya que el g es surjective, allí existe y en B con g (y) = x. A causa del commutativity del diagrama, tenemos (ya que x está en el grano de c), y por lo tanto b (el y) está en el grano de g'. Ya que la fila inferior es exacta, encontramos un elemento z en un ' con f' (z) = b (y). el z es único por injectivity de f '. Entonces definimos d (x) = z + im (a). Ahora uno tiene que comprobar que d es bien definido (es decir d (x) sólo depende de x y no de la opción de y), que es un homomorphism, y que la secuencia larga que resulta en efecto es exacta.

Una vez que esto se hace, el teorema se prueba para grupos abelian o módulos sobre un anillo. Para el caso general, el argumento se puede decir con otras palabras en términos de propiedades de flechas y cancelación en vez de elementos. O bien, uno puede invocar el teorema de fijación de Mitchell.

Naturality

En las aplicaciones, uno a menudo tiene que mostrar que las secuencias exactas largas son "naturales" (en el sentido de transformaciones naturales). Esto sigue del naturality de la secuencia producida por la serpiente lemma.

Si

:

es un diagrama conmutativo con filas exactas, entonces la serpiente lemma se puede aplicar dos veces, al "frente" y a la "espalda", cediendo dos secuencias exactas largas; éstos son relacionados por un diagrama conmutativo de la forma

:

En cultura de masas

Véase también

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