Grupo de Selmer

En la geometría aritmética, el grupo de Selmer, llamado en honor al trabajo de por, es un grupo construido de un isogeny de variedades abelian. El grupo Selmer de una variedad abelian un con respecto a un isogeny f: UnB de variedades abelian se puede definir en términos de Galois cohomology como

:

donde [f] denota la f-torsión de A y es el mapa de Kummer local. Note que esto es isomorphic a. Geométricamente, los espacios homogéneos principales que vienen de elementos del grupo de Selmer tienen puntos de K-rational para todos los sitios v de K. El grupo Selmer es finito. Esto implica que la parte del grupo de Tate-Shafarevich matado por f es finita debido a la secuencia exacta siguiente

: 0 → B (K)/f ((K)) → Sel (A/K) → Ш (A/K) [f] → 0.

El grupo Selmer en medio de esta secuencia exacta es finito y con eficacia computable. Esto implica el teorema Mordell–Weil débil que su subgrupo B (K)/f ((K)) es finito. Hay un problema celebre sobre si este subgrupo se puede con eficacia calcular: hay un procedimiento de calcularlo que terminará con la respuesta correcta si hay algún p principal tal que el p-componente del grupo de Tate-Shafarevich es finito. Se conjetura que el grupo de Tate-Shafarevich es de hecho finito, en cuyo caso cualquier p principal trabajaría. Sin embargo, si (como parece improbable) Tate–Shafarevich tiene un p-componente infinito para cada p principal, entonces el procedimiento nunca puede terminar.

Ralph Greenberg ha generalizado la noción del grupo de Selmer a representaciones de Galois p-adic más generales y a variaciones p-adic de motivos en el contexto de la teoría de Iwasawa.



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